Question

答得好加分 基础数列问题3

已知数列{an}中，a1=1且对任意n属于N*，an+1-an=1
1 求其通项公式
2 若f(n)=1/(n+a1)+1/(n+a2)+……+1/(n+an)>=a对一切n>=2恒成立，求实数a的最大值

Answer 1

1 an=n很简单 等差数列
2 f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n) 注意共有n项
f(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(n+1+n)+1/(n+1+n+1) 共有n+1项
f(n+1)- f(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)＞0
所以 f(n)为单调递增函数，最小值为 f(2)=7/12
要是不等式对一切n>=2恒成立，只需且必须f(n)最小值>=a，所以a≤f(2)=7/12
即a最大值为7/12

Answer 2

an=n
f(n)=1/2+1/4+1/6+...+1/2n
=1/2（1+1/2+1/3+...+1/n)
=1/2[1+(1/2+1/3)+(1/4+1/5+1/6+1/7)+...+(1/2^k+1/2^k+1+...1/n0]
>1/2[1+(1/2+1/2)+(1/4+1/4+1/4+1/4)+...+(1/2^k+...+1/2^k)
>1/2[1/2+1/2+...+1/2]
>1/2.k/2