Question

高中数学解析几何圆锥曲线问题

8. 已知椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP垂直OQ .（1）1/op^2+1/oq^2= ;（2）|OP|^2+|OQ|^2的最大值为 ;（3）OPQ面积 的最小值是 .要过程答案网上有
谁会帮帮忙，只要答对我再给50分

Answer 1

已知PO⊥QO
设PO斜率为k，则QO斜率为-1/k
(1) 则PO方程为y=kx 可设(x1, kx1)
代入椭圆方程 解得x²=a²b²/(b²+a²k²)
所以OP²=x1²+(kx1)²=(1+k²)*x1²=a²b²(1+k²)/(b²+a²k²)
QO方程 y=-x/k 可设(x2, -k/x²)
代入椭圆方程 解得x²=k²a²b²/(a²+b²k²)
所以OQ²=x2²+(-x2/k)²=(1+1/k²)*x2²=k²a²b²(1+1/k²)/(a²+b²k²)=a²b²(1+k²)/(a²+b²k²)
所以1/OP²+1/OQ²=[(b²+a²k²)+(a²+b²k²)]/a²b²(1+k²)=(a²+b²)/(a²b²)
(2) IOPI²+IOQI²=1/[1/OP²]+1/[1/OQ²]≥(1+1)²/[1/OP²+1/OQ²]=4a²b²/(a²+b²)
(3) OPQ面积=(1/2)OP*OQ=1/[2*(1/OP)*(1/OQ)]≥1/[1/OP²+1/OQ²]=a²b²/(a²+b²)
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

不知道你会不会用解析法，设OP与X轴成C度，则P坐标为（a*cosC,b*sinC),从而Q点坐标(假设为P点顺时针转90°，由椭圆的对称性知不影响结果)同理可知：（a*cos(90°+C）,b*sin(90°+C))=(-a*sinC,b*cosC)，这样之后的问题就迎刃而解了。
但我怀疑你第一问和第二问抄错了，|OP|^2+|OQ|^2=a^2+b^2