Question

如图,四边形OADC为正方形,点B坐标为(-2,0),点D坐标为(1,1)

⑴求梯形ABCD的面积
⑵E点为D点关于y轴的对称点，F点为C点关于x轴的对称点，则线段BC与EF有何关系，试证明你的结论
⑶在⑵的条件下，P为x轴上B点左侧一点，连PE，作EM⊥PE交y轴于M点，当点P运动时，有两个结论：①OP=CE+CM ②点E到PM的距离不变，其中有且只有一个结论正确，试选择正确的结论并证明。

Answer 1

(1)解:AB=1-(-2)=3,则S梯形ABCD=(CD+AB)*AD/2=(1+3)*1/2=2;
(2)BC垂直EF.
证明:连接CE,依题意可知,CE=1=CO;BO=CF=2;∠ECF=∠COB=90°.
则⊿ECF≌COB(SAS),∠FEC=∠BCO.
故:∠FEC+∠ECB=∠BCO+∠ECB=90度,得:BC垂直EF.
(3)正确的结论为①OP=CE+CM .
证明:在Y轴的负半轴上任取点P,连接PE,过点E作PE的垂线,交Y轴于M;作EQ垂直Y轴于Q.
易知四边形EQOC为正方形,则∠CEQ=∠PEM=90°,得:∠PEQ=∠MEC;
又EQ=EC,∠PQE=∠MCE=90°.故:⊿PQE≌ΔMCE(ASA),PQ=CM,QE=CE.
所以,OP=OQ+PQ=CE+CM.

Answer 2

解：
（1）由D(1,1)得，OA=CD=1，AD=1，由B(-2,0)得，OB=2，则AB=3，所以S梯形=1/2*（1+3）*1=2.
（2）EF=BC，连接CE,有对称知，CF=2，CE=CD=1，则RT△BOC≌RT△ACE,得证。
（3）过E作EH⊥X轴，垂足为H,得CE=OH=EH，设EM交Y轴于G，则∠PGE=∠MGO=∠MEC,
∠PEH=∠MCE=90°,得△PEH≌△MEC，得PH=CE，即OP=PH+HO=CE+CE，问题得证。

Answer 3

(1)解2;
(2)BC垂直EF.
证明:连接CE,依题意可知,CE=1=CO;BO=CF=2;∠ECF=∠COB=90°.
则⊿ECF≌COB(SAS),∠FEC=∠BCO.
故:∠FEC+∠ECB=∠BCO+∠ECB=90度,得:BC垂直EF.
(3)正确的结论为①OP=CE+CM .
证明:在Y轴的负半轴上任取点P,连接PE,过点E作PE的垂线,交Y轴于M;作EQ垂直Y轴于Q.
易知四边形EQOC为正方形,则∠CEQ=∠PEM=90°,得:∠PEQ=∠MEC;
又EQ=EC,∠PQE=∠MCE=90°.故:⊿PQE≌ΔMCE(ASA),PQ=CM,QE=CE.
所以,OP=OQ+PQ=CE+CM

Answer 4

解：
（3）过E作EH⊥X轴，垂足为H,得CE=OH=EH，设EM交X轴于G，则∠PGE=∠MGO=∠MEC,
∠PEH=∠MCE=90°,得△PEH≌△MEC，得PH=CM，即OP=PH+HO=CE+CE，问题得证。