Question

在三角形ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB) 问：在上述三角形ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆

求该三角形内切圆半径的取值范围

Answer 1

作AC，BC的高BE和AD，交AC、BC于E、D
在三角形ABC中，a/SinA=b/SinB=c/SinC
所以原式可简化为a+b=c(cosA+cosB)，即BC+AC=AE+BD
当∠C为锐角时，AC>AE，BC>BD，等式不成立
当∠C为钝角时，AC<AE，BC<BD，等式不成立
当且仅当当∠C为直角时，AC=AE，BC=BD，等式成立。
设内切圆半径为r，面积桥可得：r(a+b+c)=a*b（∠C为直角）
又a^2+b^2=c^2=1，所以可记a为Sinx，x为锐角
所以r=Sinx*cosx/(Sinx+cosx+1)=(0.5Sin^2x+0.5cos^2+Sinx*cosx-0.5)/(Sinx+cosx+1)=0.5*[(Sinx+cosx)^2-1]/(Sinx+cosx+1)=0.5*[(Sinx+cosx-1)(Sinx+cosx+1)]/(Sinx+cosx+1)
由于x为锐角，所以Sinx+cosx+1不等于0，所以原式=0.5*(Sinx+cosx-1)
当x为锐角时，1<Sinx+cosx<=根号2
所以r的取值范围是(1,2^0.5]