Question

如何解一元三次方程？f(x)=x^3-4X+x-4 , f(x)=x^3+11x^2+39x+29 , f(x)=x^3+10x^2+33x+34.

最好能附上详细的解法，因为这是国外微积分课程的作业，so please give me a hand ,thanks........
是要求当f(x)=0时x的值，谢谢~~

Answer 1

如果是正常的作业，那通常都是可以有理分解的，对首项系数为1的方程，若有有理根，则必为整根，且根为常数项的因数。通常先采用试根法先找到一个整数根，再用长除法或拆分法分解因式即可。
1）4的因数为±1，±2，±4。经试f(4)=0,
f(x)=x^3-4x^2+x-4=(x-4)(x^2+1)=0
x=4, i, -i
2) 29的因数为±1，±29。经试f(-1)=0
f(x)=x^3+x^2+10x^2+10x+29x+29=(x+1)(x^2+10x+29)=0
x=-1, -5+2i,-5-2i.
3) 34的因数为±1，±2，等。经试f(-2)=0
f(x)=x^3+2x^2+8x^2+16x+17x+34=(x+2)(x^2+8x+17)=0
x=-2, -4+i, -4-i

Answer 2

一、卡尔丹公式法 　　特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。 　　判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。 　　卡尔丹公式 　　X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)； 　　X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2； 　　X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω， 　　其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2； 　　Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。 　　标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 　　令X=Y—b/(3a)代入上式。 　　可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。 　　卡尔丹判别法 　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 　　当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
二、因式分解法
例如：解方程x^3-x=0 　　对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。
三、一种换元法
　　对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 　　令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。
四、导数求解法
　　利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。 　　如f(x）=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1, 　　y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。
一般也就这几种方法适合学生了。其实还有很多。掌握着几种就够了。