Question

两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有（ ）组

答案我是知道了，这个过程中为什么要把667和120分解质因数高手们教教我吧

Answer 1

显然这两个数不互质
【互质则最大公约数1，最小公倍数=两数之积=120，和不可能=667】
因此这两数有最大公约数K，K>1
令这两个数为AK、BK，A、B互质
有最小公倍数 = A*B*K = 120K
A * B = 120 且A、B互质。

120=2^3×3×5 ，显然因数2只能属于其中1个数，而不能同时属于两个数。
即可令这两个数为 8a * K、B * K
8aK + BK = K(8a + B) = 667=1×23×29

因此显然有如下可能：
①K = 23
8a + B = 29
a、K由3、5构成
则a = 3，B = 5
这两个数是 8*3*23 = 552、5*23 = 115

②K = 29
8a + B = 23
a、K由3、5构成
则a = 1，B = 15
这两个数是 8*1*29 = 232、3*5*29 = 435

综上，符合条件的有两组：
115和552；
232和435

追问

听不太懂，能通俗点嘛，那个8a的8是哪儿来的

追答

120=8×3×5，因数2不可能分给两个数都有，否则A、B就不互质、K就不是所谓最大公约数了。因此8只能派给其中一个数。

Answer 2

1231321