Question

若函数f(x)=x^2+(a+2)x+3，x属于[a,b]恒满足等式f(1-x)=f(1+x)，则实数b=____

答案是6 但是 我觉得 只要b是大于-4的都可以呀

Answer 1

由 f(1-x)=f(1+x) 易知 f(x) 的对称轴 是 x = 1
又因为 f(x)=x^2+(a+2)x+3
所以 可以解得 a = -4
即 f(x) = (x - 1)^2 + 2
因为 f(x) 在 x ∈ [a,b] 时，恒满足等式f(1-x)=f(1+x)
即 [a,b] 也就是 [ -4 , b ] 也必须 关于 x=1 对称 要不 等式f(1-x)=f(1+x) 是不会恒成立的
即 b = 6

追问

可是 当x=100的时候也满足f(1-x)=f(1+x）

追答

怎么 可能满足啊
x = 100的时候
要满足 f(1-x)=f(1+x） 的另一个 x 得是 -98
而 a = -4 也就是说 x的最小值只能是 -4
-4以后的数值 x 是取不到的
所以 x 的最大值 也就是 b 只能取 6

追问

x=6的时候 x+1=7 也不再范围内啊？ 怎么解释？
这道题我就是这里觉得有问题

追答

f(x+1) = f(1-x)
是用来说明 f(x) 关于 x = 1 对称用的
x = 6时 为什么你要用 x+1 = 7
而不是 x+1 = 6 呢？
这只是用来说明 对称的式子
还有 x ∈ [ -4 , 6 ]
在这个范围外的 x 对于 f(x) 来说是没有意义的

Answer 2

因为f(1-X)=f(1+X)
所以对称轴是x=1
所以对称轴-(a+2)/2=1,a=-4
因为定义域也关于x=1对称
所以(a+b)/2=1
所以b=6

Answer 3

a和b必须关于x=1对称