Question

如图，AD是△ABC（AB＞AC）中角BAC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E。设CE=a，DE=b，BE=c，求

如图，AD是△ABC（AB＞AC）中角BAC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E。设CE=a，DE=b，BE=c，求证：关于x的一元二次方程ax平方-2bx+c=0有两个相等的实数根。

Answer 1

∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E
∴EA=ED=b
设垂直平分线交AC、AB于点M、N
容易得：四边形AMDN是菱形，△AEM≌△EMD
∴DM∥AB（则∠B=∠CDM），∠EAC=∠CDM
∴∠B=∠EAC，又∠AEC=∠AEB
∴△AEC∽△AEB
∴AE:EB=EC:AE，化简得：
b²=ac
则方程ax平方-2bx+c=0的根的判别式△=4﹙b²-ac﹚=0
∴关于x的一元二次方程ax平方-2bx+c=0有两个相等的实数根