Question

1高中数学证明题

已知棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置，并证明你的结论。

Answer 1

棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置。

已知棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，射影到底面每个顶点的距离都相等，那么底面每条的边的垂直平分线必然相交于一点，也就是底面外接圆的圆心。

证明比较简单，直接用余切函数表示
设高为h
棱锥的顶点在底面内的射影为O点
O到底面各个顶点距离为r1,r2,r3.....rn
棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,设为θ
ctnθ=r1/h=r2/h=r3/h=.....rn/h
所以
r1=r2=r3=.........=rn

Answer 2

过顶点做底面的垂线，连接该点和底面的几个顶点，则形成3个直角三角形，且由已知条件知其中的一个角相等，则这3个三角形全等。
从而射影到3个地面顶点的距离相等，
答案：外心 即射影为底面三角形外接圆的圆心

Answer 3

O点到该面的距离为A点到该面的距离的一半，所以先求A点到该面的距离。找B1D1中点E,则A到该面的距离为三角形ACE中CE边上的高，依据几何关系，AC=√3,