Question

利用范德蒙行列式求解。 怎么求。 具体步骤

a^n (a-1)^n … (a-n)^n
a^(n-1) (a-1)^(n-1)… (a-n)^(n-1)
. . .
. . .
1 1 … 1

Answer 1

解: 将第1行依次与第2,3,...,n行交换, 一直交换到第n行
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
. . .
. . .
1 1 … 1
a^n (a-1)^n … (a-n)^n

将第1行依次与第2,3,...,n-1行交换, 一直交换到第n-1行
a^(n-2) (a-1)^(n-2) … (a-n)^(n-2)
. . .
. . .
1 1 … 1
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
a^n (a-1)^n … (a-n)^n

如此类似交换, 一直交换为:
1 1 … 1
a (a-1) … (a-n)
. . .
. . .
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
a^n (a-1)^n … (a-n)^n

考虑到交换两行行列式变符号
将行列式的列作同样的交换, 得
1 … 1 1
(a-n) … (a-1) a
. . .
. . .
(a-n)^(n-1) … (a-1)^(n-1) a^(n-1)
(a-n)^n … (a-1)^n a^n

这样, 总的交换次数为偶数, 故等式的符号不变.
且此为Vandemonde行列式
D = n!(n-1)!...3!2!1!