Question

一道高中数学题，帮个忙啊

1.若函数y=lg(ax^2+ax+1)的定义域为R，求实数a的范围
2.若函数y=lg(ax^2+ax+1)的值域为R，求实数a的范围
这两题有什么不同啊

Answer 1

第一题，外函数是对数函数，其定义域为R,就是说：
ax^2+ax+1>0对x属于实数集R恒成立，也就是说ax^2+ax+1与x轴无交点，
首先判断ax^2+ax+1的曲线类型：
1.a=0时，ax^2+ax+1=1。y=lg(ax^2+ax+1)=0，为常数函数，定义域为R是成立的。
2.a不等于0时，ax^2+ax+1为二次曲线，即抛物线。它与x轴无交点说明抛物线与x轴不相交，并且开口方向向上，曲线全部位于x轴上方。首先一点，a>0.这保证了开口方向。
再来看，与x轴无交点，就是方程ax^2+ax+1=0无解，其判别式小于0,：a^2-4a<0.
可以解得：0<a<4。
因而，0=<a<4，即为所求。

第二题，这个函数的值域是R，也就是说y能够取遍所有实数。对数函数y=lgx在定义域（0，正无穷大）上的值域就是R。其中：x趋近于0的时候，lgx趋近于负无穷大，x趋近于正无穷大的时候，lgx趋近于正无穷大。

那么题中给的函数值域为R，说明：ax^2+ax+1能够取遍所有正数，对于任意正数e，必存在x，使得ax^2+ax+1=e。也就是说不存在正数z>0，使得ax^2+ax+1=z无解。
（否则函数值域中必然没有lgz这一个数，因为函数lgz是单调递增的。）
注意：3楼所说的，ax^2+ax+1值域是(0,+无穷）的说法也不准确，函数的值域是其取值范围，函数不可能取值域以外的值。我们只能说，ax^2+ax+1能取(0,+无穷）内所有的数，但不能说其至于就是(0,+无穷）。

还是先判断曲线ax^2+ax+1类型，a=0时，为一直线，此时函数为y=0，值域不为R，不成立。
故a不等于0，曲线为抛物线。一条抛物线的纵坐标能取遍所有正数。。。。这说明这条抛物线跟x轴相交或者相切，并且一点抛物线开口向上，（否则取不到正无穷大）。因而a>0.
也就是说方程ax^2+ax+1=0必有解，有一个解或者两个解。（一个解时，判别式=0，抛物线与x轴相切。两个解时，判别式>0,抛物线与x轴想交）。
综上述：方程判别式>=0，即：a^2-4a>=0.。解得：a<=0或者a>=4.
联系a>0，故a>=4。即为所求。

Answer 2

1. 对所有的实数x，使得ax^2+ax+1>0恒成立
条件 a>0 , delta <0
2. lgx的值域本来就是R，但前提是定义域是x>0，如果缩小定义域，那么值域也就不是R了
看题目 也就是要求ax^2+ax+1的值域是(0,+无穷）
根据二次函数的图像，很容易看出来 a>0 delta >=0（a<0,会存在一个最大值，无法取到正无穷了，而delrta<0，与坐标轴无交点，ax^2+ax+1的最小值是正的，同样存在一小段区域无法取到

仔细想想

有不明白的追问

Answer 3

一个是通过定义域限制X的范围来求a,一个是通过值域限制Y的范围来求a,当然不同了

Answer 4

题1定义域为R说明要取得所有X，所以(ax^2+ax+1)大于零即可。即a大于零且的踏小于零并上a等于0
题2值域为R即(ax^2+ax+1)大于0都能取得，所以a要大于0且的踏大于等于0。

Answer 5

（1）：0＜a＜4
（2）：a≤0，或a≥4