Question

1*2+2*3+3*4+…+n*（n+1） 等于多少？ 数学高手来啊！

Answer 1

令s(n)=1*2+2*3+3*4+…+n*（n+1）
则，s(n+1)=1*2+2*3+3*4+…+n*(n+1)+(n+1)*(n+2)
s(n+1)-s(n)=(n+1)*(n+2)=n^2+3n+2
依次带入：
n=1时，s(2)-s(1)=1^2+3*1+2
n=2时，s(3)-s(2)=2^2+3*2+2
……
然后叠加：
得到s(n)-s(1)=【1^2+2^2+……n^2】+3*(1+2+……+n)+n*2
其中1^2+2^2+……n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2
所以s(n)-s(1)=(n(n+1)(2n+1))/6+(3*n*(n+1))/2+2n
其中s(1)=2
所以s(n)=2+2n+(n(n+1)(2n+1))/6+(3*n*(n+1))/2
=(n+1)*(2+(n(2n+1))/6+3n/2)
一直算下去就好了

Answer 2

原式=1^2+1+2^2+2+...+n^2+n
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
这里用了公式：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

因为n(n+1)=n²+n
原式＝1²+1+2²+2+……+n²+n＝(1²+2²+……+n²)+(1+2+……+n)
可证明1²+2²+...+n²＝n(n-1)(2n-1)/6, 这个用数学归纳法可以证明，很复杂
可证明1+2+...+n＝n(1+n)/2 ，这个是数列求和公式
所以，原式=(1²+2²+……+n²)+(1+2+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(1+n)/2＝自己算吧