Question

初二数学题，全等三角形类型

在△ABC中，点D、E在边BC上，∠CAE=∠B.E是CD的中点，BD=AD且AD平分∠BAE,求证：BD=AC.拜托帮帮忙，万分谢谢~
如图（拜托好心人有时间的话帮我解析一下追问二楼的问题，谢谢~）

Answer 1

我来我来...
证明：∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B.
又∵AD平分∠BAE，
即∠DAE=∠BAD.
且∠CAE=∠B，
∴∠DAE=∠CAE.
∴△ACD为等腰三角形.
作线段DF⊥AB交AB于F.
则AC=AD（等腰三角形的性质），
DF=DE=CE（角平分线的性质）.
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
AC=AD（已证）
∠AFD=∠AED（已作）
DF=CE（已证）
∴Rt△ACE≌Rt△ADF（S·A·S）
∴AC=AD（对应边相等）
且AD=BD.
故有AC=BD.
从而得证.
【PS：其实实质是和楼上的解法一样】
好吧，我帮你吧：
证明：在△ABE和△ACD中有：
AB=AC（已知）
∠A=∠A（公共角）
CD=BE（已知）
∴△ABE≌△ACD（S·A·S）
即△BOD≌△COE.（注：其中点O为BE和CD的交点）
∴∠BDC=∠CEB.
即∠ADC=∠AEB.
从而得证.

追问

好吧，十分感谢你的帮助，可是有一点，如果说∠B=∠C的话，才能用SAS，这里用的是不存在的定理SSA，不过，还是非常感谢你(^__^)

追答

= =

Answer 2

就按中线倍长法来做啊，我就不画图了，自己画一下啊
延长AE到F，使AE=EF，连接DF，
由E是CD中点可知DF平行于AC，
故∠F=∠CAE=∠B，且DF=AC，
又AD平分∠BAE，故∠FAD=∠BAD
由此可知，∠F=∠B
∠FAD=∠BAD
AD=AD
故△AFD与△ABD全等，
则DF=DB，又DF=AC
故BD=AC，问题得证

Answer 3

因为 BD=AD 所以三角形ADB是等腰三角形 ∠B=∠BAD
又因为 AD平分∠BAE
所以∠BAD =∠DAE=∠B=∠CAE ==> AE 是角DAC的角平分线
E是CD的中点 AE是CD的中线 ==>三角形DAC是等腰三角形 ==>　AD=AC=BD

Answer 4

因为 BD=AD 所以三角形ADB是等腰三角形 ∠B=∠BAD
又因为 AD平分∠BAE
所以∠BAD =∠DAE=∠B=∠CAE ==> AE 是角DAC的角平分线
E是CD的中点 AE是CD的中线 ==>三角形DAC是等腰三角形 ==>　AD=AC=BD

Answer 5

请画图看我的解答，这样方便理解，更容易懂一点。
本题用的主要知识点：等腰三角形三线合一

证明：因为角B=角CAE(已知)
又因为BD=AD，所以角B=角BAD(等边对等角)
所以角CAE=角BAD
而角BAD=角EAD(角平分线)
所以角CAE=角EAD，而且E又是CD的中点，
所以AC=AD(等腰三角形三线合一)如果没有学过三线合一，可以用全等证明
又已知AD=BD
所以AC=BD得以证明!
慢慢看这题目不难的!

追问

太谢谢了，可以再问一个问题吗：如图，∠BAC是钝角，AB=AC,D、E分别在AB、AC上，且CD=BE,求证：∠ADC=∠AEB