Question

初二数学勾股定理

根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，如果勾是3，股是4，那么弦为5，后人概括为“勾3，股4，弦5“
（1）观察3,4,5，；5,12,13；7,24,25；……发现这些勾股数的第一个数都是奇数，且从3起就没有间断过，计算1/2（9-1），1/2（9+1）与1/2（25-1），1/2（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7,24,25的股与弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且n≤3）的代数式，表示这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想他们之间两种相等关系，并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；……可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式表示它们的股和弦。
（要求：过程详细，有理有据，最好先讲解一下这类题的做法。符合要求的即为标准答案，至少追加5分以上）

Answer 1

(1)通过观察,3,4,5中,第一个数3的平方是9,则股与弦分别为1/2（9-1），1/2（9+1）
5,12,13中,第一个数5的平方是25,则股与弦分别为1/2（25-1），1/2（25+1）
所以在7,24,25中,第一个数7的平方是49,则股与弦分别为1/2（49-1），1/2（49+1）
(2)勾n 股1/2(n^2-1) 弦1/2(n^2+1)
可以验证勾股定理n^2+[1/2(n^2-1)]^2=n^2+1/4(n^2-1)^2=n^2+1/4(n^4-2n^2+1)=1/4(n^4+2n^2+1)=[1/2(n^2+1)]^2
第二个等式:n+1/2(n^2-1)+1/2(n^2+1)=n^2+n即一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。
(3)勾m 股1/4m^2-1 弦1/4m^2+1
其实这种题目就是找规律啊~~

追问

第（2）问中的第二个等式我们没学过，有别的吗？

追答

没有了,因为直角三角形中可以列等式的性质只有勾股定理和第二个等式了..抱歉..

Answer 2

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

勾股数 - 特点
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？

用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182