Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，AE是∩BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于E，求证：四边形ADCE是矩

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，AE是∩BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于E，求证：四边形ADCE是矩形

Answer 1

AE是△BAC的外角∠EAF平分线
∴∠FAE=∠EAC=1/2∠FAC
∵DE‖AB
∴∠DEA=∠FAE=∠EAC(两条直线平行，内错角相等；∠DEA和∠FAE是内错角)
∵△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠ACB.
∠FAC=∠B+∠ACD（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和）
∴∠B=∠ACD=1/2∠FAC
∴∠ACD=∠EAC(内错角相等，两条直线平行；∠DEA和∠FAE是内错角)
∴AE‖DC
∵△ABC中AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵AE‖DC
∴∠DAE=∠ADC=90°
∵AE‖DC,DE‖AB
∴AB=AC=DE
∴四边形ADCE是矩形。

Answer 2

解：
∵AE是△BAC的外角∠EAF平分线
∴∠FAE=∠EAC=1/2∠FAC
∵DE‖AB
∴∠DEA=∠FAE=∠EAC
∵△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠ACB.
∠FAC=∠B+∠ACD
∴∠B=∠ACD=1/2∠FAC
∴∠ACD=∠EAC
∴AE‖DC
∵△ABC中AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵AE‖DC
∴∠DAE=∠ADC=90°
∵AE‖DC,DE‖AB
∴AB=AC=DE
∴四边形ADCE是矩形