Question

物理题，求讲解。。。

13．在图(a)所示的电阻网络中，每一个电阻的阻值为R。某同学用如图(b)所示的装置去测量网络中任意两节点之间的电流。设电源的电压恒为E，则最大电流为__________，最小电流为_________。
求各种情况讲解，最好是算电阻的那种方法。。。

Answer 1

我把每段导线电流设出来 找关系 然后用两个方程
r==E/I
I是设的流入的总电流 通过分析 最后每段导线的电流都可以用I表示
E==KIR（这个方程式随便选取一个支路从电势为E一直降到电势为0处所得）
设最上面那个点是a底下左边的是b右边的是c再下面左面是d e f
第一种情况a进b出
第二种a进f出
第三种a进e出
第四种b进c出
其他的情况都是这四种的对称情况或者是翻转情况 所以只要算出这四种即可。
在这四种情况里面 有一种分析电流需要考虑对称的思想，其他三种是比较简单的。
用对称的有两个 一个是ae两点 在一个是af两点接入电路.都是沿等边三角形的高对称，不过ae沿底边
对称,af的是沿斜边高对称。
我就给你说a f （a入 f出）接入电路的吧
首先 设总电流是I 因为无论怎么接 只要把电源加在上面一定有一个稳定的电流 就是I
至于电流方向你可以随便设定 最后的结果是一样的
我设定的电流方向是a到b a到c b到c b到d b到e c到e c到f d到e e到f
再设ac间电流是I1
ab间电流是I2
bc间电流是I3
bd间是I4
因为af接入电路时电阻沿dc直线对称
所以对称导线部分的电流是相同的
所以不难看出cf中电流也是I1
ef中电流是I2
ce中电流是I3
de间是I4
这便是对称的用法
接下来就是找I1 I2 I3和I的关系
看输入端，因为干路电流是I 两个支路一个是I1 一个是I2 很明显I==I1+I2,然后就是用任意两点间无论电流是怎么流过来的，电势降落的量都是相等的，电势降落的量也就是这两点间的电势差，就是电压。
所以你就可以随便选两点开找I1 I2 I3 I4的关系
看be两点
bde中电流肯定都是I4 所以这两点间电势差就是I4乘以2R 所以电势降2I4R 而再看bce这条路里面的电流都是I3 所以电势降也等于2I3R==2I4R
所以I3==I4 ①
于是I4全部换成I3
设be中电流是I5 而be两点电压降是I5R但是他也等于2I3R
所以I5==2I3 ②
于是把I5也写成2I3
看e这一点ce be de三股电流汇聚到ef 所以ef中电流
I2==I3+2I3+I3==4I3 ③
现在就差I3和I1的关系了 再用一次相同电压降
选ac两点 一个支路是a到b到c 一个支路是a到c
a到b到c 电压降就等于I2R+I3R==5I3R
a到c电压降等于I1R
所以I1==5I3④
所以I就能用I3表示出来就是
I==I1+I2==9I3这是很重要的一个式子
再用初末两点电压是E这个关系 随便选取一个支路列个式子
我选取的是acf这条 于是有E==I1R+I1R==10I3R
和I==9I3联立
可得E==10R/9I
I==9E/10R
别的同理

对了 答案是四种情况 电流分别是
18E/11R
9E/10R（最小）
9E/4R（最大）
6E/5R

Answer 2

先进行一个Δ-Y变换，可将电路化简，图中原有六个节点不变，电阻变为R/3。等下上图
总共只有四种情况，测1-2，1-4，1-5，2-3
1-2：等效电阻为11/18R
1-4：等效电阻为10/9R
1-5：等效电阻为5/6R
2-3：等效电阻为4/9R
所以，测2-3，等效电阻最小，电流最大，为9E/(4R)
测1-4，等效电阻最大，电流最小，为9E/(10R)

追问

等效电阻怎么求的？

追答

图片已经上传了，还没显示出来，化简后，就是简单的串并联了。

Answer 3

由于电路的对称性，实际只能测出3种电流，即只有组成3种电阻，一、2边中点间电阻。二、单边2端电阻。三、边的一端与中点的电阻。
希望你学过竞赛的等效电路，因等电势点间没有电流，等电势的2点可以接在一起，电路电阻不变；某点被拆开后。仍然等电势，可以拆开；对称电路中间平分线等电势。
一、R等效=R+[(R+R)∥R∥R]*2=4R/9
二、R等效=(R+R)∥{R+R+[(R+R)∥(R+R)∥R]}=10R/9
三、R等效=R∥(R+Rx)；总电阻是R与很多电阻的并联，因此电阻小于R；总电阻是R与很多电阻的并联，这很多电阻是R串联一些电阻（阻值大于R），因此R与大于R的电阻的并联，阻值不会大于R/2；所以电阻比一大比二小。
电流最大=E/(4R/9)=9E/(4R)
电流最小=E/(10R/9)=9E/(10R)