Question

如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D,E, AB=AC,∠BAC=90°，则DE,BD,CB长度之间的关系并证明。

Answer 1

角D=角E=90°
角DBA+角DAB=角DAB+角EAC=角EAC+角ACE
所以角DBA=角EAC，，角DAB=角EAC
并且AB=AC
所以三角形DAB全等于三角形ECA
所以DE=BD+CB

Answer 2

∵∠BAC=90°
∴∠DAB+∠EAC=90°
∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠DAB+∠DBA=90°
∴∠EAC=∠DAB
∵AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,
∴△DAB≌△ECA
∴DB=EA,DA=EC
∴DE=DA+AE=DA+DB
∵BD⊥DE,
∴DA^2+DB^2=AB^2
∴AB^2=(DE-DB)^2+DB^2
∵AB=AC,∠BAC=90°(直角勾股定理)
∴AB^2=BC^2-AC^2=BC^2-AB^2
∴BC^2=2AB^2=2[(DE-DB)^2+DB^2]
∴BC^2=2DE^2-4DE·DB+4DB^2