Question

一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集为(α、β)(α>0),则不等式cx^2+bx+a>0的解集为

Answer 1

解析：
由于一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集为(α、β)
故可知a<0且α+β=-b/a，α*β=c/a
又α>0，则β>α>0
所以-b/a>0，c/a>0
则b<0，c>0
此时可设不等式cx^2+bx+a>0对应的一元二次方程cx^2+bx+a＝0的两个根为m，n
由于c>0,故两根与系数关系是：
m+n=-b/c=(-b/a)/(c/a)=(α+β)/(α*β)=1/α +1/β
m*n=a/c=(1/α)*(1/β)
因为β>α>0，所以1/α >1/β>0
则不等式cx^2+bx+a>0可化为c[x-(1/α)]*[x-(1/β)]>0
所以不等式cx^2+bx+a>0的解集为｛x | x>1/α或x<1/β｝

Answer 2

ax^2+bx+c>0的解集为(α、β)(α>0),
则a(x-α)(x-β)>0与ax^2+bx+c>0等价
且a<0
b=－a(α+β)>0
c=a((αβ)<0
代入cx^2+bx+a>0
得aαβx^2-a((α+β)x+a>0 所以αβx^2-(α+β)x+1<0
即 (αx-1)(βx-1)<0
(x-1/α)(x-1/β)<0
因为 0<α<β,所以 1/α>1/β
原不等式的解为：(1/β,1/α)