Question

已知圆和圆(x-1)^2+(y-2)^2=1关于直线y= -x 对称,求圆的方程

Answer 1

圆(x-1)^2+(y-2)^2=1的圆心为A（1，2），半径为1
假设与之对称的圆的圆心为B(m,n)，则，AB所在直线与y=-x垂直
设AB所在直线为y=x+b
由于此直线过A点，所以
2=1+b===>b=1
所以此直线的方程为y=x+1
所以，此直线与y=-x交点为（-1/2,1/2)
所以，|AB|=2×A点到直线y=-x距离
∴√(m-1)²+(n-2)²=2√(1+1/2)²+（2-1/2)²
整理得到(m-1)²+(n-2)²=18
又因为B点在直线y=x+1上，
所以n=m+1
联解得到m=4或者-2，n=5或者-1
显然舍去（4，5）点 （因为此点与A点同在y=-x的一侧，不符合题意）
所以，与圆(x-1)^2+(y-2)^2=1关于y=-x对称的圆的方程为
(x+2)²+(y+1)²=1

Answer 2

设所求圆的圆心为（a，b）
根据题意
(b-2)/(a-1)*(-1)=-1
b-2=a-1
b=a+1(1)
2个圆心的中点在y=-x上
(b+2)/2=-(a+1)/2
(a+3)/2=-(a+1)/2
a+3=-a-1
2a=-4
a=-2
b=-1
所求：(x+2)²+(y+1)²=1