对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点。
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围...
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0) 若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围
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2个回答
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此题采用构造法,转化为二次函数存在2个零点
设g(x)=f(x)-x=ax2+bx+(b-1)
令g(x)=0
故ax2+bx+(b-1)=0有2个不等实根
△>0
b²-4a(b-1)>0
参变量分离
当b>1时a<b²/(4b-4)恒成立
即a<b²/(4b-4)的最小值
不知道LZ导数会不,这里我用导数求出当b=2时取到最小值1
a<1
当b=1时,△=1恒成立
b<1时a>b²/(4b-4)恒成立
a>b²/(4b-4)的最大值
同样的由导数可知b²/(4b-4)在(-∞,0)单调递增。(0,1)单调递减
所以最大值在0时取到 为0
a>0
3种情况必须同时满足
故取交集
0<a<1
第二种解法是把 b²-4a(b-1)>0看成新的一元二次方程
将a看成已知量
再用△<0
即16a²-16a<0
0<a<1
设g(x)=f(x)-x=ax2+bx+(b-1)
令g(x)=0
故ax2+bx+(b-1)=0有2个不等实根
△>0
b²-4a(b-1)>0
参变量分离
当b>1时a<b²/(4b-4)恒成立
即a<b²/(4b-4)的最小值
不知道LZ导数会不,这里我用导数求出当b=2时取到最小值1
a<1
当b=1时,△=1恒成立
b<1时a>b²/(4b-4)恒成立
a>b²/(4b-4)的最大值
同样的由导数可知b²/(4b-4)在(-∞,0)单调递增。(0,1)单调递减
所以最大值在0时取到 为0
a>0
3种情况必须同时满足
故取交集
0<a<1
第二种解法是把 b²-4a(b-1)>0看成新的一元二次方程
将a看成已知量
再用△<0
即16a²-16a<0
0<a<1
追问
为什么△<0
追答
因为题中b²-4a(b-1)>0是恒成立的。。从二次函数的角度考虑,也就是说,图像全部在x轴上方。(由于二次项系数为1大于0,开口向上。)不懂,再问。
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