Question

已知函数f(X)=2-x\x+1

证明函数f(x)在（-1，正无穷)为减函数
是否存在负数x,是的F（X）=3^成立，存在求出x,若不存在，请说明理由

Answer 1

(1) 证明：在(-1，+∞)上任取x1，x2，且-1<x1<x2，那么x2-x1>0，x1+1>0，x2+1>0.
∵f(x)
=(2-x)/(x+1)
=[(-x-1)+3]/(x+1)
=-(x+1)/(x+1)+3/(x+1)
=-1+3/(x+1)
∴f(x1)-f(x2)
=[-1+3/(x1+1)]-[-1+3/(x2+1)]
=3/(x1+1)-3/(x2+1)
=[3(x2+1)-3(x1+1)]/[(x1+1)(x2+1)]
=3(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]
∵x2-x1>0，x1+1>0，x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=3(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]>0
∴f(x)在(-1，+∞)上是减函数.
(2) 解：负数x不存在，理由如下：
假设存在负数x，即x<0，那么0<3^x=f(x)<3^0=1.
∵f(x)=(2-x)/(x+1)
∴0<f(x)=(2-x)/(x+1)<1
解不等式组，得：1/2<x<2，与假设中的x<0矛盾.
故假设不成立，即满足题意要求的负数x不存在.
纯手写，很辛苦，望楼主能采纳!