Question

三角形ABC中。内角A,B.C的对边a.b.c.已知b的平方=ac，cosB=3/4。（1）1/tanA+1/tanC的值。

(2）设向量BA*BC=3/2,求a+c的值。

Answer 1

解：(1)1/tanA+1/tanC=(tanA+tanC)/(tanA*tanC)=cosA*cosC(tanA+tanC)/(sinA*sinC)
=(sinAcosC+sinCcosA)/(sinA*sinC)=[sin(A+C)]/(sinA*sinC)
∵cosB=3/4 又∵在△ABC中，0<B<π ∴sinB>0，sinB=√(1-(cosB)^2)=(√(7))/4
∵A+B+C=π ∴A+C=π-B，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB=(√(7))/4
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ∴ac/(sinA*sinC)=(b/sinB)^2，1/(sinA*sinC)=b^2/(ac*(sinB)^2)
∵b^2=ac ∴1/(sinA*sinC)=(1/sinB)^2=16/7
∴1/tanA+1/tanC=[(√(7))/4]*(16/7)=(4√(7))/7
(2)∵BA*BC=|BA|*|BC|*cosB=ac*cosB=3/2 ∴ac=(3/2)*(4/3)=2，b^2=ac=2
由余弦定理：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB，2=a^2+c^2-4*(3/4)，5=a^2+c^2，
9=a^2+2ac+c^2=(a+c)^2 ∵a+c>0 ∴a+c=3