Question

求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．

急。

Answer 1

考点：
充要条件．
专题：
证明题．
分析：
我们先假设，x=1是方程ax^2+bx+c=0的根再证明a+b+c=0成立，即命题的必要性，再假设a+b+c=0再证明x=1时，方程ax^2+bx+c=0成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到关于x的方程ax^2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．
解答：
证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax^2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a•12+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax^2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a•12+b•1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立．
点评：
本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．