Question

已知四边形ABCD是矩形，PA垂直平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

求证MN垂直AB
若PA=AD求证MN垂直平面PCD

Answer 1

证明：1)连结AC、作N在平面ABCD上的射影O，则O是AC的中点，

∵O、M分别是AC、AB中点，∴OM∥BC，

∵DC⊥AB，∴OM⊥AB，

∵OM是斜线NM在平面ABCD上的射影，∴MN⊥AB；

2)连结PM、MC，Rt△MBC中，设MB=a、BC=b，则MC^2=a^2+b^2，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

Rt△PAM中，AM=MB=a，PA=AD=BC=b，则PM^2=a^2+b^2，∴PM=MC，

∵N是PC的中点，∴MN⊥PC，已证MN⊥AB，AB∥DC，∴MN⊥DC，

PC交DC于平面PCD，∴MN⊥平面PC，证毕。

Answer 2

1
证：在PD上取中点H，连接NH，HA
HN=1/2CD=1/2AB=AM
HN‖CD‖AB‖AM
∴
四边形AMNH为平行四边形
∴AH‖MN
又∵MN不∈平面PAD,AH∈平面PAD
∴MN‖平面PAD
2
证：△PAD为等腰直角三角形
H为PD中点，易知AH⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
又∵PA∩AD于D
∴CD⊥平面PAD
则AH⊥CD
又∵CD∩PD于D
则
AH⊥平面PDC
由1可知，MN平行AH
则MN⊥平面PDC