Question

设a>b>0,则a^2+1/(ab)+1/a(a-b)的最小值是多少?

Answer 1

a>b>0
a^2 + 1/(ab) + 1/{a(a-b)}
= a^2 + {(a-b)+b}/{ab(a-b)}
= a^2 + a/{ab(a-b)}
= a^2 + 1/{b(a-b)}
=【a - 1/√{b(a-b)】^2 + 2a/√{b(a-b)}
≥ 2a/√{b(a-b)}
当a = 1/√{b(a-b}时取最小值2

追问

额,均值不等式是这样用的嘛,我怎么看不懂呢,=【a - 1/√{b(a-b)】^2 + 2a/√{b(a-b)}怎么推过来的啊,我不太清楚啊
可以详细一点吗

追答

∵【a - 1/√{b(a-b)】^2 = a^2 + 1/{b(a-b)} - 2a√{b(a-b)}
∴ a^2 + 1/{b(a-b)}=【a - 1/√{b(a-b)}】^2 + 2a/√{b(a-b)}

追问

2a/√{b(a-b)}
怎么可以直接得答案啊,均值不等式也不可以这样用吧,不然的话,我早做出来了
里面有两个未知数呢

追答

∵【a - 1/√{b(a-b)】^2 + 2a/√{b(a-b)}
其中【a - 1/√{b(a-b)】^2≥0
∴【a - 1/√{b(a-b)】^2 + 2a/√{b(a-b)} ≥ 2a/√{b(a-b)}
又：当a = 1/√{b(a-b)时【a - 1/√{b(a-b)】^2=0
∴2a/√{b(a-b)} = 2

Answer 2

题目有点问题 如果是
a^2+1/ab+1/a(a-b)就对了
原式=a^2+1/b(a-b)>=a^2+4/a^2>=4 当且仅当2b=a,a^4=4时取等号
则其最小值为4

追问

可以详细一点吗,题目没有错哦,是练习书上的