Question

一道线性代数题目。请看图片。

Answer 1

证明: 设λ是A的特征值
则λ^3是A^3的特征值
而 A^3 = 0
所以 λ^3 = 0
所以 λ = 0
即A的特征值都是0.

因为A≠0, 所以 r(A)>=1.
所以属于特征值λ=0的线性无关的特征向量的个数
n-r(A) <= n-1
故n重特征值λ=0至多有n-1个线性无关的特征向量.
所以A不能相似对角化.

Answer 2

反设A可相似对角化，则存在可逆矩阵C和对角矩阵D使A=C^(-1)*D*C
A^3=C^(-1)*D^3*C=0，所以D^3=0，因为C是可逆矩阵。
但这样的话，D=0，从而A=0，与题目条件矛盾。
故A不可相似对角化。