Question

如图，已知ABC中，角ACB=90度，D是AB上一点，BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E，连接BE,CD交于M,求证：CD垂直BE

Answer 1

因为BD = BC
所以角BDC=角BCD
又因为角ACB=角BDE=90度
所以角EDC=角ECD
所以EC=ED
所以三角形BCE全等于三角形BDE
所以角CEB=角DEB
所以三角形CEM全等于三角形DEM
所以角EMC=角EMD
又因为角EMC+角EMD=180
所以CD垂直与BE

Answer 2

证明：据题，∠ACB=90度，且ED垂直于AB，
则，三角形BED和三角形BCD都是RT三角形，
而BC=BD,BE为公共边，根据HL定理，三角形BED和三角形BCD全等，
所以CM=DM，
又因为BC=BD,所以三角形BCD是等腰三角形，BM是三角形BCD的中线，
根据等腰三角形三线合一定理，BM是三角形BCD的高，
所以BE垂直于CD。
证明完毕。

Answer 3

取BE的中点为O，连接OC、OD
∵△BCE和△BDE是直角三角形
∴OC=OD=BE/2
∵OB=OB，BC=BD
∴△BCO全等△BDO
∴∠OBC=∠OBD
∴BE是∠CBD的平分线
∵在△CBD中，BC=BD
∴CD⊥BE