Question

已知数列{an}的各项为正数,Sn为前n项和,且Sn=1/2(an+1/an)

归纳出an的公式再利用数学归纳法来证明它

Answer 1

S1=a1=(a1 +1/a1 ) /2
推出a1=1
S2 =a1+a2 =1+a2 = (a2 +1/a2) /2
推出a2=√2 -1
S2 =a1+a2+a3 =√2 +a3= (a3 +1/a3) /2
推出a3 =√3 -√2
猜想an =√n -√(n-1)
以下用数学归纳法证明
当n=1时成立显然成立
设n=k时成立,即ak =√k -√(k-1)
则n=k+1时
S(k+1)=Sk+a(k+1) = [a(k+1) +1/a(k+1)] /2
将Sk用ak带入得： (ak +1/ak)/2+a(k+1) =[a(k+1) +1/a(k+1)] /2
整理得ak +1/ak+a(k+1)-1/a(k+1)=0
而ak +1/ak =√k -√(k-1) +1/[√k -√(k-1)]
=√k -√(k-1)+(√k +√(k-1)]
=2√k
所以有a(k+1)-1/a(k+1)+2√k =0
[a(k+1)]²+2√k a(k+1)-1 =0
解得：a(k+1)=√(k+1) -√k 或者a(k+1)=-√(k+1) -√k (负数 舍去)
所以n=k+1时an =√n -√(n-1)也成立
所以,｛an｝的通项公式: an =√n -√(n-1)