Question

已知f(x)是定义域在R上的奇函数,且满足f(x+1)=-f(x),则f(2011)=?

Answer 1

由f(x+1)=-f(x),可得f(x)=-f(x+1)，从而也有f(x+1)=-f(x+2)，所以f(x)=-f(x+1)=-[-f(x+2)]=f(x+2)，所以f(x)是周期为2 的周期函数。从而f(2011)=f(1+2*1005)=f(1)。又奇函数在x=0时有意义有f(0)=0，在f(x+1)=-f(x)中令x=0，可得f(1)=-f(0)=0，所以f(2011)=0。

追问

能不能不说周期函数求证？周期函数还没学。

Answer 2

f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1),f(x+2)=f(x), f（x）为周期函数 ,T=2
f(2011)=f(1)
f(x)是定义域在R上的奇函数
f(1)=-f(-1),
f（x）为周期函数 ,T=2
f(1)=f(-1)
f(1)=0,f(2011)=0

追问

能不能不说周期函数求证？周期函数还没学。

Answer 3

f(x+2)=-f(x+1)=f(x),故T=2.
f(2011)=f(1),
由题，当x=0时，f(1)=-f(0)=0,所以f(2011)=0