Question

设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4

若f(x)在(-∞，+∞)无极值点，求a的取值范围。
若f(x)在(-∞，+∞)无极值点,所以Δ=4b²-4ac≤0因为a>0,所以a取值范围[1,9]
我要问Δ=4b²-4ac≤0，与x轴无交点应该是Δ<0呀，为什么还有=0，等于0不是与x轴有一个交点吗不满足f(x)在(-∞，+∞)无极值点了

Answer 1

导函数f'(x)=0有解只是函数f(x)有极值的必要条件，不是充分条件。
假设f'(x)=0的解是x1，还要看x<x1和x>x1时函数f(x)的单调性是否有改变，即f'(x)是否符号有否改变。
我们知道，Δ=4b²-4ac≤0时，f'(x)≥0,即f'(x)不会小于0，函数f(x)没有极值。