Question

高中数学题目求解!

已知函数y=√(1-x)+√(x+3) 的最大值为M，最小值为m则m/M的值为_____

老师说将函数2边分别平方就可以求了
可我不会
求大神按老师的方法求解
谢谢

Answer 1

办法一：y=√1-x+√x+3 两边同时除以y
(y≠0想想为什么？)变为1=√(1-x)/y +√（x+3）/y 到此就可以知道怎么用三角代换了，令√(1-x)/y =sin²a, （主要是使用1=sin²a + cos²a）
√（x+3）/y=cos²a 两个式子平方去掉根号后再相加，化简后有，4=y²（1-2sin²acos²a）于是Y²=4/（1-2sin²acos²a）=4/[1-（sin²2a）/2)]，当sin²2a=1时（也就是a=45°，取最大值）y²=8 于是 M=y=2√2 ，当sin²2a=0时 （也就是a=0°，取最小值）y²=4 于是 m=y=2 所以结果为 m/M=1/√2

又想出几种初等方法,这些都是利用三角函数的有界性求出最大值最小值的，所谓初等方法就是没有使用高等数学的知识，高中生能懂得。
办法2：由于y=√1-x+√x+3的定义域为{x|-3≤x≤1}。所以考虑变量替换令
x=-3+4sin²a 其中a∈[0°，90°]即x∈[-3，1] 于是将x代入y=√1-x+√x+3 中，有 y=2cosa +2sina=2（cosa+sina）=2√2cos(a-45°)（其中 -45°≤a-45°≤45°）所以最大值为2√2 ，最小值为2
注意 本来sina、cosa要带绝对值的，但是a∈[0°，90°]，所以它们都是非负数 这个方法总结如下：当x∈[a，b] 求y=√b-x+√x-a 的最大值和最小值时，可以令x=a-(a-b)sin²q 其中 q∈[0°，90°]，因为这样刚好可以去掉根号，而且x的取值范围也没有改变。

办法3：用微分法，求一阶导数求出驻点和导数不存在的点 为x=-3 ,x=-1,x=1 这些点都在本函数的定义域-3≤x≤1内 ，且在定义域内函数是连续的，所以根据闭区间上的连续函数有最大值和最小值的定理就知道 最后只需要 比较函数在这三个点处的值就能找出最大值为2√2 ，最小值为2，所以m/M=1/√2

追问

额
办法一还行
可是那个3就有问题了

Answer 2

y²=1-x+x+3+2√(1-x)(x+3）=4+2√(1-x)(x+3）=4+2√[-(x+1）²+4]
∴y²max=4+2×2=8即x=-1,y²min=4即x=1,
∵√a≥0,∴y≥0,∴M,m≥0,M=2√2，m=2
m/M的值为√2/2.

Answer 3

两边平方后得 y^2=1-x+x+3+√-x^2-2x+3=4++√-x^2-2x+3 x绝对值<=1
实际是求 √-x^2-2x+3 的范围的问题 很明显 √-x^2-2x+3=√-（x+1）^2+4
当x=-1取得最大值M=√6 当x=1取最小值m=2
所以m/M=2/√6 =√6 /3

Answer 4

y^2=1-x+x+3+√（1-x）（x+3） 得y^2=4+√（1-x）（x+3）=4+√(-x^2-2x+3) 于是就求y的最大最小值关键求出 二次函数f(×)=-x^2-2x+3 的最大最小值，（注：由题目可得-3＜x＜1在做的时候别忘了定义域啊，还有y这里是≥0的，因为题目中y=√ +√ 所以之后开根你就不用考虑y的正负啦） 接下去相信楼主会了吧，我就提个思路，不然追问也可以，到时把答案求出来