Question

已知函数f（x）=x3-x

（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程
（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

f'=3x^2-1
1)点M（t，f（t））处的切线方程: y=f'(t)(x-t)+f(t)=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3
2)过点（a,b)的切线方程为 y=f'(t)(x-a)+b, 切点为（t, f(t)),代入曲线方程得：
t^3-t=(3t^2-1)(t-a)+b
即： g(t)=2t^3-3at^2+a+b=0 有三个不等实根
g'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)=0--> t=0, a
因为a>0, 因此极大值为g(0)=a+b
极小值为g(a)=-a^3+a+b
为使其有三个不等实根，需：g(0)>0, g(a)<0，即
a+b>0-->b>-a
-a^3+a+b<0---> b<a^3-a=f(a)
因此有： -a<b<f(a)

Answer 2

1：方程是y-t3-t=(3t2-1）[x-t]
2;证明，讲一下思路，由1知即关于x的方程b-x3-x=[3x2-1]（x-a）有三个根，求导后，三次方程最值关于x轴的两个不等式解出答案。。