Question

如图,海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，

从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在的海岸的距离相等。为什么？
为什么是用“角角边”做？我不懂，为什么∠CAD=∠DBC，∠CAB=∠DBA，AB=AB就能得出这两个三角形全等，“角角边”是这样运用的吗？

Answer 1

答：相等.理由：
∵∠CAD+∠1+∠3=180°
∠CBD+∠2+∠4=180
且∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠3=∠4
∵AC⊥AB、BD⊥AB（如题可知）
所以∠BAC=∠ABD=90°（垂直定义）
在△ACB与△ABD中
∠3=∠4（已证）
∵ ∠BAC=∠ABD（已证）
AB=AB（公共边）
∴△ACB≌△ABD（AAS）
∴AC=CB（全等三角形对应角相等）
即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等）

Answer 2

相等．
理由：
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB（对顶角），
∴由内角和定理，得∠C=∠D，
又∵∠CAB=∠DBA=90°，
在△CAB和△DBA中，
∠C=∠D ∠CAB=∠DBA AB=BA(公共边) ∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴CA=DB，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等

Answer 3

因为∠CAD=∠CBD,所以可知A.B.C.D四点共圆
又因为已知∠CAB=∠ABD=90°
易得四边形ABDC为圆内接矩形 → AC=BD=距离

Answer 4

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