Question

高中数学题一道，在线等

已知函数f（x）=2x^2-4(a-1)x-a^2+2a+9
(1)若在[-1，1]中至少存在一个实数m，使得f（m）＞0，求a的取值范围
(2)若对[-1，1]上的一切实数m都有f（m）＞0，求a的取值范围

Answer 1

你好，题有点复杂，我说一下思路，你自己运算一下
(1)存在一个实数m，使得f（m）＞0
只需[-1，1]上，f(x)的最大值＞0
由于开口向上
故f(x)的最大值是f(-1)或f(1)
所以f(-1)>0或f(1)>0
由此解出a的范围，注意上式中间连接词是“或”，
应该取两部分范围的并集即为所求

也可按对称轴在区间中点的哪一侧进行分类讨论来求最大值 对称轴是x=a-1
①a-1≤0时，最大值f(1)，只需f(1)>0
②a-1>0时，最大值f(-1)，只需f(-1)>0
两种情况取并集即为所求

(2)一切实数m都有f（m）＞0
只需[-1，1]上，f(x)的最小值＞0
而[-1，1]上，f(x)的最小值按对称轴是否在区间内需分三种情况讨论
对称轴是x=a-1
①在区间内，即-1≤a-1≤1时， f(x)最小值f(a-1)，只需f(a-1)>0
②在区间的左侧，即a-1<-1时，f(x)最小值f(-1)，只需f(-1)>0
③在区间的右侧，即a-1>1时，f(x)最小值f(1)，只需f(1)>0
以上三种解得范围取并集即为所求范围