Question

如图，已知：锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于H.(1)求证：BH=AC

（2）若△ABC为钝角三角形，其它条件不变，试问：（1）中的结论是否仍然成立？画图证明你的结论
我需要详细的过程 不要勾股定理 请每步带上理由。

Answer 1

（1）如左图

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠DBH是∠C的余角，∠DAC是∠C的余角

∴ ∠DBH=∠DAC（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠DBH=∠DAC，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

（2）如中图∠BAC为钝角

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠C是∠DBH的余角，∠H是∠DBH的余角

∴ ∠H=∠C（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠H=∠C，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

（3）如右图 ∠BCA为钝角

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠DBH是∠H的余角，∠EAH是∠H的余角

∴ ∠DBH=∠EAH（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠DBH=∠EAH，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

Answer 2

因为∠ABC=45°，AD⊥BC 所以△ABD是等腰直角三角形，所以AD=BD 又 BE⊥AC，所以，∠EBC+∠C=90° ， AD⊥BC 所以∠DAC+∠C=90° 因此∠DAC=∠EBC=∠HBC 由直角三角形全等的判定△BDH和△ADC是全等的，所以BH=AC
如果是钝角三角形，这个结论是同样成立的，证明方法和这个一样，也是证明△BDH和△ADC是全等的，只不过H点在三角形之外，但是AD=BD ∠DAC=∠HBC 它们都是直角三角形这三个条件都是不变的，因此△BDH和△ADC是全等的，所以BH=AC
可以把这种情况的图画出来，也就是∠BAC和∠ACB为钝角的两种情况画出来就很明显了，证明都一样的

Answer 3

（1）如左图

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠DBH是∠C的余角，∠DAC是∠C的余角

∴ ∠DBH=∠DAC（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠DBH=∠DAC，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

（2）如中图∠BAC为钝角

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠C是∠DBH的余角，∠H是∠DBH的余角

∴ ∠H=∠C（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠H=∠C，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

（3）如右图 ∠BCA为钝角

∵ ∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴ △ABD是等腰三角形，BD=AD，∠BDH=∠ADC=90°

∵ BE⊥AC，AD⊥BC

∴ ∠DBH是∠H的余角，∠EAH是∠H的余角

∴ ∠DBH=∠EAH（同角的余角相等）

在Rt△DBH与Rt△DAC中

∵ ∠DBH=∠EAH，BD=AD，∠BDH=∠ADC

∴ Rt△DBH≌Rt△DAC（ASA）

∴ BH=AC（全等三角形对应边相等）

Answer 4

不是最好的解答，删去了