Question

极限lim(x,y →0,0) (y^3-x^3)/(x^2+y^2)

Answer 1

解：设y=kx，∴原式=lim((x,y)→(0,0))[(k³-1)x³]/[(k²+1)x²]=lim((x,y)→(0,0))[(k³-1)x/(k²+1)。
当丨k丨<∞时，均有lim(x→0)[(k³-1)x/(k²+1)=0，
∴原式=0。
供参考。

Answer 2

解 设 y=tx
则极限变为 lim(x →0) ((tx)^3-x^3)/(x^2+(tx)^2)
=lim(x →0) (t^3-1)x^3/(t^2+1)x^2
=lim(x →0) (t^3-1)x/(t^2+1)
=0
解毕。

Answer 3

首先进行观察，发现分子的幂次高于分母的幂次，主观判断是极限存在的。
然后使用极坐标求极限：令x=rcosa，y=rsina
当x和y同时趋向于0时，r=0，故原极限转换为
lim(r->0) [r^3sin^3a - r^3cos^3a]/[r^2(sin^2a+cos^2a)]
=lim(r->0)r（sin^3a - cos^3a）
=0

Answer 4

二元函数的极限，忘了怎么求了。不过楼上的做法好像不对吧，为什么y和x的关系一定是y=tx这样线性的呢？