Question

高数格林公式的问题

曲线积分 Xdy-Ydx/(x平方+y平方) 在（0 0）点挖个洞 但是二重积分的间断点也可以用原始的方法解决 将曲线积分化为二重积分 这里的原点 不可以理解为间断点吗？ 为什么还要挖个洞来求
还有就是为什么挖个洞 就能求出 挖的洞不还是不存在(0 0)点吗？

Answer 1

首先，没见过多元函数里有“间断点”的概念（数学系的会有？）
总之，这个(0,0)是无定义点，自然也是偏导不连续点
不满足格林公式的使用条件，那自然是不能直接使用的

于是，想用就必须补线，也就是“挖洞”
但挖洞要有技巧
注意到这里的洞是由于分母F(x,y)为零的地方产生的
于是补的线要根据F(x,y)的形式来补（F是圆,补的就是圆;是椭圆,补的就是椭圆）
这里补的线就是l: F(x,y) = x²+y² = r²，其中r足够小
这样做是因为线积分能够将曲线方程代入被积函数中，这样就消去了无定义点
即 ∮(xdy-ydx)/(x²+y²) = ∮(xdy-ydx)/r² = (1/ r²)∮xdy-ydx 【积分路径为l】
原积分化为
∮(xdy-ydx)/(x²+y²) 【积分路径为l】
=∮(xdy-ydx)/(x²+y²) - (1/ r²)∮xdy-ydx 【前者积分路径为L+l，后者积分路径为l】
这样前者避开了(0,0)点，可使用格林公式了
后者将曲线方程代入被积函数后消去了无定义点，再使用格林公式也无妨了