Question

设a,b,c,是△ABC的三条边,方程(b+c)x2+√2(a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根,

设a，b，c，是△ABC的三条边，方程（b+c）x2+√2（a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根，且满足a-5b+2c=0。求证三角形是等腰三角形

Answer 1

证明：∵ 方程（b+c）x^2+√2（a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根
∴ B^2-4AC=0
即[√2（a-c)]^2-4(b+c)[-3/4(a-c)]=0
整理得：（a-c）(2a+3b+c)=0
∴ a-c=0 ，即a=c，2a+3b+c=0 （不合题意，舍去。因为a、b、c为△ABC的三边）
验证三角形是否存在：
又a-5b+2c=0 ①
当a=c时，代入①得3a=5b，或3c=5b，即a=5b/3，或c=5b/3。
又a+c=5b/3+5b/3=10b/3>b
b+c=b+5b/3=8b/3>a
a+b=c+3c/5=6c/5>c
同样，a-c=5b/3-5b/3=0<b
b-c=b-5b/3=-2b/3<a
a-b=c-3c/5=2c/5<c
所以，能构成实际的三角形。
所以，△ABC 肯定是等腰三角形。得证。

备注：此题给出的条件，不能判断是否为等边三角形。但至少可以断定是等腰三角形。

Answer 2

看判别式
=【√2（a-c)】^2 -4(b+c)[-3/4(a-c)]
=c^2-2ac+a^2
=(c-a)^2
因为方程有2相等实根 所以(c-a)^2=0 即a=c 所以三角形是等腰三角形

Answer 3

∵(b+c）x2+√2（a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根
∴判别式△=0
[√2(a-c)]^2 - 4(b+c)*[-3/4(a-c)]=0
2(a-c)^2+3(b+c)(a-c)=0
(a-c){2(a-c)+3(b+c)=0
(a-c)(2a+3b+c)=0
∵2a+3b+c＞0
∴a-c=0
∴a=c

将a=c带入a-5b+2c=0
c-5b+2c=0
c=5b
即a=c=5b
∴等腰（而非等边）三角形

Answer 4

证明
因为有两个相等的实根
所以
｛√2（a-c)｝^2=-4(b+c)3/4(a-c)
2(a-c)^2=-3(b+c)(a-c)
解得a-c=0，a=c，又因为a-5b+2c=0，5b=3c，所以是等腰三角形
或者2（a-c）=-3（b+c）
2a-2c=-3b-3c
2a+3b+c=0
不成立
所以又且只有一解
a=c，b=3/5c
所以三角形是等腰三角形

Answer 5

方程（b+c）x2+√2（a-c)x-3/4(a-c)=0有两个相等的实数根
所以[√2（a-c)]^2+(4x3/4)(b+c)(a-c)=0
2(a-c)^2+3(b+c)(a-c)=0
(a-c)(2a-2c+3b+3c)=0
a-c=0
或2a+3b+c=0 (1)
已知a-5b+2c=0 (2)
(1)+(2)得
3a+3c=2b
a+c=2/3b<b
因为三角形两边之和大于第三边,所以2a+3b+c=0(舍)
既只有a-c=0 a=c满足要求
所以该三角形是等腰三角形

Answer 6

有两个相等实数根
判别式等于0
所以2(a-c)^2+3(b+c)(a-c)=0
2a^2-4ac+2c^2+3ab-3bc+3ac-3c^2=0
2a^2-ac-c^2+3ab-3bc=0
(2a+c)(a-c)+3b(a-c)=0
(a-c)(2a+c+3b)=0
因为边长是正数
所以2a+c+3b>0
所以只有a-c=0
a=c
所以是等腰三角形