Question

大一高数的简单证明题

1.证明:a=b <=> 任取e>0,有|a-b|<e
2.证明：若limAn=a, 则limAn^2=a^2
3.证明：若数列{Xn}有界，且limYn=0，则limXnYn=0

Answer 1

1）必要性：显然a=b,则a-b=0,
故|a-b|=0<e
充分性：假设a不等于b，则|a-b|不等于0且必然大于0，
设t=|a-b|>0,则取e=t/2
则|a-b|=t>e
与任取e>0,有|a-b|<e，矛盾
2）因为limAn=a
lim(An-a)=0
lim(An+a)=0
limAn^2-a^2=lim(An^2-a^2)
=lim(An-a)(An+a)
=0*0=0
故limAn^2=a^2
3)数列{Xn}有界，设|Xn|<M是其界
limYn=0,则对于任意小的实数e>0,当n充分大时，
|Yn-0|<e/M
则|Xn*Yn-0|=|XnYn|<M|Yn|<e
故按照极限定义
limXnYn=0

Answer 2

1.证明：
假设 ∃ e1>0,使得|a-b|>e1成立，则：
∵a=b
∴|a-b|=0>e1
这与题设矛盾
∴原命题成立
2.证明：
∵limAn^2=limAn*An
而limAn=a，即An的极限存在，所以上式可以写成：
limAn^2=limAn*limAn=a*a=a^2
3.证明：
∵{xn}有界，
∴∃ 一个S和∀N,当n>N’时，|xn-S| < ε恒成立
即：S-ε'<xn<S+ε'
又∵limyn=0
∴∃一个N‘，当n>N‘'时，-ε''<yn<ε''恒成立
取N=max{N',N''},当n>N时：
左趋近：xnyn>-Sε''+ε''ε'=ε''（-S+ε'）
右趋近：xnyn<Sε''+ε'ε''=ε''(S+ε')
∵ε''是无穷小，
∴ε''（-S+ε'）和ε''(S+ε')也都是无穷小
因此必∃一个∀ε，使得：-ε<xnyn<ε恒成立，
而lim(-ε)=0,limε=0，根据夹逼准则：
limxnyn=0