Question

从1.2……2011这2011个数中，取出若干个数使其中任意3个数的和都不能被7整除，最多可取几个数？

Answer 1

从1，2，3，。。。，2011中取出：
1，8，15，。。。，2010共288个。（这些数被7除余1）

再取出：
2，9，16，。。。，2011共288个。（这些数被7除余2）

再取出：6，

总计取出 288+288+1=577个。这些数中，任意3个的和都不是7的倍数。
这是由于 1+1+1，1+1+2，1+1+6，1+2+2，1+2+6，2+2+2，2+2+6 都不能被7整除。

又由于 1+2+4=7，1+1+5=7，1+6+0=7，所以，上述577个数中再添上任何其它数，都将有3个数的和被7整除。

综上，最多可取 577个数。

Answer 2

首先考虑题意要求,任意三个数的和不能被7整除,那么该三数分别被7除的余数的和必须被7整除,那么考虑余数有0,1,2,3,4,5,6等7个类别.简单可以推知余数为0,3,4,5,6的数均不能达到题意要求,所以应当先抽取余数为1和2的数,共287+1+287+1=576个.
然后在此基础上考虑如何使抽取数最多.如抽取余数为0的数,最多可抽取2个,而余数为3,4,5的数,均不能抽取,余数为6的最多只可抽取一个,因为任何两个余数为6的数加一个余数为2的数的和,会形成余数为14,可被7整除.
综上所述,可抽取的最多数是578个,其中包含被7除余数为1的数288个,余数为2的数288个,余数为0的数2个(范围内任选).