在⊿ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,λsinA),n=(sinA,1+cosA),已知m∥n
在⊿ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,λsinA),n=(sinA,1+cosA),已知m∥n(2)若b+c=√3a,求λ的取值范围...
在⊿ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,λsinA),n=(sinA,1+cosA),已知m∥n
(2)若b+c=√3a,求λ的取值范围 展开
(2)若b+c=√3a,求λ的取值范围 展开
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由两向量平行则有:λ(sinA)*(sinA)=1*(1+cosA),整理得:λ=1/(1+cosA).易知为cosA的减函数。
对b+c=√3a用正弦定理可得:sinB+sinC=√3sinA
将等式左边“和差化积”(这个公式当年我们老师要我们背诵了的,现在好像没有这个要求了,但是考试的时候会把公式放在试卷开头),并带入A=π-B-C,可得:
1>=cos[(B-C)/2]=√3sin(A/2)>0
从而得到:sin(A/2)<=√3/3<√2/2,所以A为锐角,且满足这个不等式。
当sin(A/2)=√3/3时,可得cosA=1-2[sin(A/2)]^2=√3/3,所以cosA的范围为:√3/3和1之间,但取不到1。当cosA=√3/3时,代入计算得λ=(3-√3)/2.当cosA=1时,λ=1/2.
再由函数单调性即可得到λ的取值范围为:1/2<λ<(3-√3)/2.
(用余弦定理并带入第二问的条件整理可得:cosA=(a^2-bc)/(bc))<貌似可以作为第二种方法,有兴趣可自己尝试。>
对b+c=√3a用正弦定理可得:sinB+sinC=√3sinA
将等式左边“和差化积”(这个公式当年我们老师要我们背诵了的,现在好像没有这个要求了,但是考试的时候会把公式放在试卷开头),并带入A=π-B-C,可得:
1>=cos[(B-C)/2]=√3sin(A/2)>0
从而得到:sin(A/2)<=√3/3<√2/2,所以A为锐角,且满足这个不等式。
当sin(A/2)=√3/3时,可得cosA=1-2[sin(A/2)]^2=√3/3,所以cosA的范围为:√3/3和1之间,但取不到1。当cosA=√3/3时,代入计算得λ=(3-√3)/2.当cosA=1时,λ=1/2.
再由函数单调性即可得到λ的取值范围为:1/2<λ<(3-√3)/2.
(用余弦定理并带入第二问的条件整理可得:cosA=(a^2-bc)/(bc))<貌似可以作为第二种方法,有兴趣可自己尝试。>
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