Question

在⊿ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（1，λsinA），n=(sinA,1+cosA)，已知m∥n

在⊿ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（1，λsinA），n=(sinA,1+cosA)，已知m∥n
（2）若b+c=√3a，求λ的取值范围

Answer 1

由两向量平行则有：λ(sinA)*(sinA)=1*(1+cosA)，整理得：λ=1/(1+cosA).易知为cosA的减函数。
对b+c=√3a用正弦定理可得：sinB+sinC=√3sinA
将等式左边“和差化积”(这个公式当年我们老师要我们背诵了的，现在好像没有这个要求了，但是考试的时候会把公式放在试卷开头)，并带入A=π-B-C，可得：
1>=cos[(B-C)/2]=√3sin(A/2)>0
从而得到：sin(A/2)<=√3/3<√2/2，所以A为锐角，且满足这个不等式。
当sin(A/2)=√3/3时，可得cosA=1-2[sin(A/2)]^2=√3/3，所以cosA的范围为：√3/3和1之间，但取不到1。当cosA=√3/3时，代入计算得λ=(3-√3)/2.当cosA=1时，λ=1/2.
再由函数单调性即可得到λ的取值范围为：1/2<λ<(3-√3)/2.
(用余弦定理并带入第二问的条件整理可得：cosA=(a^2-bc)/(bc)）<貌似可以作为第二种方法，有兴趣可自己尝试。>