Question

在△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的半圆O交BC于点D,过D点做圆心O的切线交AC于点P。求证：PA=PC

Answer 1

如图，连接AD

因为AB是圆O的直径，所以∠BDA=90°

∠BAC=90°

PD、PA都是圆O的切线，PD＝PA

∠PAD=∠PDA

∠C+∠PAD=∠CDP+∠PDA=90°

∠C=∠CDP

PD=PC

所以PA=PC

Answer 2

连结AD
∵PD切圆O于D
∴ ∠PDA=∠B（弦切角等于所夹弦所对的圆周角）
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90°（直径上的圆周角是直角）
∴∠PDA+∠PDC=90°
∴∠B+∠PDC=90°
在Rt△ABC中∠BAC=90°，∠B+∠C=90°
∴∠PDC=∠C（同角的余角相等）
∴PD=PC（等角对等边）
∵∠BAC=90°,以AB为直径
∴PA切圆O于A（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
∵PD切圆O于D
∴PA=PD（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）
∴PA=PC