Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点是（-2,3/2),与x轴的两个交点之间的距离为6，求不等式y+7/6＞0的解集

Answer 1

二次函数y=ax²+bx+c的顶点是（-2,3/2)
说明对称轴是x=-2
而与x轴的两个交点之间的距离为6
我们设y=0的两根是x1,x2(x1<x2)
则x2-x1=6
所以x2=-2+3=1,x1=-2-3=-5
由韦达定理有x1+x2=-4=-b/a,x1*x2=-5=c/a①
又因为顶点是(-2,3/2)
所以3/2=4a-2b+c②
联立①②解得a=-1/6,b=-2/3,c=5/6

所以y=(-1/6)*x²-(2/3)*x+5/6
故y+7/6=(-1/6)*x²-(2/3)*x+5/6+7/6>0
所以x²+4x-12<0
即(x-2)(x+6)<0
那么-6<x<2
即解集是{x|-6<x<2}

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

Answer 2

【方法一】：

解：设二次函数为f(x)=y=ax²+bx+c，
设x1、x2为f(x)=0的两根，且x1<x2 【x1、x2也就是f(x)图像与x轴交点的横坐标】
∵ y=ax²+bx+c的顶点是(-2，3/2)，与x轴有两个交点
∴ a<0，f(x)=y=ax²+bx+c的开口向下
4a-2b+c=3/2 等式①
函数f(x)的对称轴为：x=-2
∵ x1、x2为f(x)=0的两根，且x1<x2，函数f(x)与x轴的两个交点之间的距离为6
并且已求得：函数f(x)的对称轴为：x=-2
∴ x1、x2函数f(x)的对称轴为x=-2的距离，应该等于| x1-x2|/2=6/2=3，
即：|x1-(-2)|=|x2-(-2)|=3
并且可判断：x1<-2，x2>0
|x1-(-2)|=-[x1-(-2)]=-x1-2=3 解方程得到：x1=-5
|x2-(-2)|=x2-(-2)=x2+2=3 解方程得到：x2=1
∴ 根据韦达定理得到：
x1+x2=-b/a=-4 等式②
(x1)×(x2)=c/a=-5 等式③
等式①②③组成方程组为：
4a-2b+c=3/2
-b/a=-4
c/a=-5
解方程得到：
a=-1/6，b=-2/3，c=5/6
则函数f(x)的解析式为：
f(x)=(-1/6)x²-(2/3)x+5/6
∵ 不等式y+7/6>0
∴ 不等式y+7/6>0的解集，就是函数f(x)>-7/6时，x的取值范围，根据题意得到：
f(x)=-7/6时，解方程得：x=-6，或x=2，
根据函数f(x)=(-1/6)x²-(2/3)x+5/6图像可知道：
f(x)>-7/6时，-6<x<2

综上所述，不等式y+7/6>0的解集的解集为：-6<x<2

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【方法二】：

解：设二次函数为f(x)=y=ax²+bx+c，x1、x2为f(x)=0的两根
∵ y=ax²+bx+c的顶点是(-2，3/2)，与x轴有两个交点
∴ a<0，f(x)=y=ax²+bx+c的开口向下
4a-2b+c=3/2 等式①
f(x)的对称轴为：x=-2=-b/(2a) 等式②
∵ x1、x2为f(x)=0的两根，函数f(x)与x轴的两个交点之间的距离为6
x1+x2=-b/a
(x1)×(x2)=c/a
|x1-x2|²=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4(x1)×(x2)=36，即：
(-b/a)²-4c/a=36 等式③
∴ 等式①②③组成方程组为：
4a-2b+c=3/2
-2=-b/(2a)
(-b/a)²-4c/a=36
解方程得到：
a=-1/6，b=-2/3，c=5/6
则函数f(x)的解析式为：
f(x)=(-1/6)x²-(2/3)x+5/6
∵ 不等式y+7/6>0
∴ 不等式y+7/6>0的解集，就是函数f(x)>-7/6时，x的取值范围，根据题意得到：
f(x)=-7/6时，解方程得：x=-6，或x=2，
根据函数f(x)=(-1/6)x²-(2/3)x+5/6图像可知道：
f(x)>-7/6时，-6<x<2

综上所述，不等式y+7/6>0的解集的解集为：-6<x<2

Answer 3

解：
∵-b/2a=-2
∴b=4a ①
（x2-x1)^2
=(x2+x1)^2-4x1x2
=(-b/a)^2-4*c/a
=b^2/a^2-4c/a
=6^2
=36
∴b^2-4ac=36a^2 ②
∵（4ac-b²）/4a=3/2
∴-36a^2/4a=3/2
∴a=-1/6
∴b=-2/3
代入②式，求得c=5/6
∴y=-1/6x²-2/3x+5/6
-1/6x²-2/3x+5/6+7/6＞0
1/6x²+2/3x-2＜0
x²+4x-12＜0
（x+6）（x-2）＜0
-6＜x＜2

Answer 4

解：将原方程化成顶点式：y=(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a，
则有：x=-b/2a=-2，y=(4ac-b^2)/4a=3/2，
由此可得，4a=b，c-b=3/2，
原方程可化为：y=ax²+4ax+4a+3/2，（1）
与x轴的两个交点之间的距离为6，所以两个交点分别为：（1，0），（-5，0），
将这两个点的值代入（1）中，有，a=-1/6，
所以原方程为：y=-1/6x^2-2/3x+5/6，
y+7/6＞0可化为：-1/6x^2-2/3x+5/6+7/6>0，
即：-1/6x^2-2/3x+2>0，
解之，得：-6<x<2.

Answer 5

这是几年级的