Question

关于万有引力的问题

如果在地球上打一个连通地心的洞，忽略洞的体积。那么在洞内距地心r的质量为m的质点受到的地球给它的引力为多少？（地球看作均匀球体，密度为p，半径为R，请给出具体推导过程，不胜感激）
是这样，鄙人目前物理方面文化程度不高，不清楚高斯定理。我能想象万有引力定律对于两个质点适用，但是按照书上的解释，还对一个球和一个质点适用，这是为什么？首先我想知道这个的证明。然后，当这个质点在球的内部的时候，是否依然适用。这又是一个证明。我希望这两个证明能只利用对于两个质点适用的万有引力定律与数学推导。同时我也会提高悬赏分，望有志之士不吝赐教。

不是我有意不把悬赏分给大家，问题是这个东西不简单。我仔细看了，直到第五位回答者，最终答案都没一个是对的。我也不是知道了答案在这里炫耀，我确实只知道答案不知道过程是怎样的。所以请各位多费费心。
我在书上看到的就是第六位的回答，不过第六位的答案和过程有点冲突，其答案应是F=4*pi*p*G*r*m/3。但是，我想知道的恰恰就是为什么球壳对物体的引力为0。所以还得再待高手。

Answer 1

球壳对内：过任意点，作椎面（顶对顶双椎面！），椎角足够小，椎面在球上得到的两个面积块的面积之比与距离的平方成正比，（数学上作两点的大圆就可以计算了），所以这两个面块的引力相互抵消，整个球面可以划分成无数个这样的面块对，问题就解决了。
球壳对外：对称性，高斯定理。这时候你要不喜欢高斯定理，就用微积分慢慢算吧，或者你在计算方法中用到高斯定理证明时用到的方法，一样可以解决。你当然可以用对称性加上引力线的连续性，再加上无穷远的情形，但引力线的连续性就是高斯定理的结论。如果是电场，还可以用在中心加负电荷的方法解决，但一般不考虑负引力物质，因此不能引申。

Answer 2

由高斯定理,到地心的距离R的地方
引力场场强E= GM / R^2
其中M=4/3 * PI * R^3 * p
所以E=4/3 * PI * G * p * R

晕,居然有人说我错误,用场强再乘以质量m不就是楼主的答案吗.不过我到地心距离用了不同的符号R而不是楼主指定的r,反正地球半径是没用的.而且,看好,我的M=4/3 * PI * R^3 * p,就是除去球壳后的质量.

不过现在看来楼主真正想知道的问题为什么球壳对内部物体的引力为0,就是小柯西的思路.

Answer 3

把地球分成2部分,即一个球壳和一个半径为r的小地球.
球壳对该物体的引力为0（至于原因我就无法解释了）,物体受到的引力相当于半径为r的地球对物体的引力:
F=GMm/(r*r)
M=ρ*4π(R*R*R)/3
联立上面两式解得F=4πρGm(R*R*R)/3(r*r)

Answer 4

把地球分做两部分

一个是半径为r的球 一个是剩下的球壳

均匀球壳对其内部的物体的引力是0的 正如小柯西第一段所说那样了

然后就剩下那个小球了

结果也好算吧 就是一个半径为r的球对他的引力

不知道楼主是高中生还是大学生 我感觉对学物理的这个应该是常识呀^_^ 也不复杂

哈哈 楼主的求知精神真是不错啊 我感觉小柯西已经把思路说的差不多了 楼主自己算算 好像还不要用到积分吧 用极限思想就够了...两个会抵消

楼主 找到这个 你自己看看吧
http://www.cnysgz.com/ygjy/ygwl/ArticleShow.asp?ArticleID=1892

Answer 5

万有引力公式得：F=GMm/r^2....(1)
M（地球）=PV.....(2)
V（地球）4兀R^3/3...(3)
(1,2,3)式得：F=G4兀R^3pm/3r^2

自己再把我的答案推一次OR问问别人

Answer 6

怎么不告诉万有引力常量G啊？根据F＝GMm／r2 M=pV V =4/3∨r3 所以代进去就可知道F了呀！我不会打数学符号 ＜r2代表r的平方 ∨代表胚 r3代表r的立方>应该就怎么解吧！