Question

我想问的是一道和排列组合有关系的问题。100的阶乘（100！）可以整除2的k次方，求这个k的最大值（2^k

答案是2的97次方，但仍然不知道问题的解决过程！谢谢大家的帮忙！

Answer 1

需要计算100！中含有2^k即可。只能从其中的偶数中找，即
100!=(1*3*5*......99)*(2*4*6*8*......98*100)
=(1*3*5*......99)*2^50*（1*2*3*........49*50）
=(1*3*5*......99)*2^50*（1*3*.....49)*（2*4*6*......50）
=(1*3*5*......99)*（1*3*.....49)*2^50*2^25*(1*2*3*4......*25)
=(1*3*5*......99)*（1*3*.....49)*2^75*（1*3*5.....25)*（2*4*6*......24)
=(1*3*5*......99)*（1*3*.....49)*2^75*（1*3*5.....25)*（1*2*3*......23)*2^12*(1*2*3*.....12)
=(1*3*5*......99)*（1*3*.....49)*（1*3*5.....25)*（1*2*3*......23)*2^87*(1*2*3*.....12)
=M*2^87*(1*2*3*.....12)
（记M=(1*3*5*......99)*（1*3*.....49)*（1*3*5.....25)*（1*2*3*......23)
而1*2*3*.....12=（1*3*....11）*（2*4*6.....12)
=（1*3*....11）*2^6（1*2*3.....6)
=（1*3*....11）*2^6（1*3*5）（2*4*6)
=（1*3*....11）*（1*3*5）*（1*3）*2^10
=N*2^10 其中N=（1*3*....11）*（1*3*5）*（1*3）)
所以100!=M*2^87*N*2^10 =MN*2^97
故100!可以整除2的k次方，k的最大值为97

Answer 2

应该是：100的阶乘（100！）可以被2的k次方整除，求这个k的最大值。
其实就是求100的阶乘（100！）里有多少个因数2相乘？
因只有偶数里才有因数2，故100个数中有50个偶数，提取50个2后，剩下25个偶数，再提取25个2，剩下12个偶数，提取12个2，余6个偶数，提6个2余3个偶数，提3个2余1个偶数2.
所以K=50+25+12+6+3+1=97

Answer 3

1至100中,2的倍数(偶数)有50个;
4的倍数有25个;
8的倍数有12个;
16的倍数有6个;
32的倍数有3个;
64的倍数有1个;
所以K的最大值为50+25+12+6+3+1=97个;

Answer 4

建议你看看《初等数论》，在Gauss函数这节。

k=[100/2]+[100/4]+[100/8]+[100/16]+[100/32]+[100/64]
=50+25+12+6+3+1