Question

线性代数行列式的计算

1.怎么得到/A/>0的?
2.a^4的系数是+1指的是哪里啊？怎么得到的？
3.顺便问下，怎么快速得到AA^T=(a^2+b^2+c^2+d^2)E的?有啥决窍,不用死算两个乘积?

Answer 1

1.2. a^4 即主对角线上元素的乘积,
由行列式的定义可知, 此项符号为正
即 .a^4的系数是+1
所以 |A|^2 = ( a^2+...)^4 两边开方时 应取正号
否则 |A| = - ( a^2+...)^2 = - a^4 - .......
这与 a^4的系数是+1 不符.

3. 这个没什么诀窍, 这么特殊的行列式能想到用 AA^T 就已经烧高香了哈
不过不必纠结, 这类行列式非常罕见, 知道有这个方法就行了

追问

a^4 即主对角线上元素的乘积, a^4的系数是+1，怎么得到 |A| >0的?我还是没看出来啊~

追答

上面有啊:

|A|^2 = ( a^2+...)^4 两边开方时 应取正号

否则 |A| = - ( a^2+...)^2 = - a^4 - .......
这与 a^4的系数是+1 不符.

追问

(1)
由行列式的定义，行列式是不同行不同列的元素乘积的代数和；由/A/中可以看到"不同行不同列的元素乘积的代数和"有一项是a^4;
所以/AA^T/只能取正,这样可以保证(a^2+b^2+c^2+d^2)^2中有一项是a^4;对吗?
--------
(2)但这样做可靠吗?/A/"不同行不同列的元素乘积的代数和"有一项是a^4,但是我用展开公式后求出来的最后结果也可能不带a^4啊;

追答

""但是我用展开公式后求出来的最后结果也可能不带a^4啊;""
这不可能. a^4 只能出现在一项中: 即 主对角线上的元素的乘积中.

我发现解答你的问题异常费劲!

追问

呵呵，谢谢亲，我只是爱打破沙锅问到底；
我的意思是，/A/中可以看到"不同行不同列的元素乘积的代数和"有一项是a^4；---这是定义；
而我们通过另外一种方法，把/A/^2算出来了；但是有没有可能-a^4加加减减一些数，得到的答案和带a^4项的一些数的加加减减的答案是一样的？
必竟行列式是一个数，算这个结果的过程中可能一些代数和中的个个数不同，但最后得到的数可能是一样的；如：8+7=9+6；

追答

你把 行列式 |A| 看作是a,b,c,d 的函数好了

Answer 2

1.2.指的是同一个问题吧，a^4是4个a相乘得到的，a的系数全部为正，那么乘出来就是正的（假如有3个a，一个-a，那么a^4系数就是负的）
3.用的是矩阵乘法，硬算就已经很简单了，是一个对角阵。

追问

a^4的系数是+1，怎么得到 |A| >0的?我还是没看出来啊~

追答

|A|^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4这个很清楚了吧？
那么开根号，|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2或者-(a^2+b^2+c^2+d^2)^2
a^4系数为1，那么|A|只能等于(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

至于你说的8+7=9+6，这在给a,b,c,d赋值之后是可能出现的，但现在是代数表达式。行列式展开之后所有项都是4次，由abcd四个数相乘得到，a^4这一项，只可能是4个a相乘。