Question

f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-4,若f(x)在X=X0处取得极小值，x0属于（1,3）求a的取值范围

f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-4,若f(x)在X=X0处取得极小值，x0属于（1,3）求a的取值范围

Answer 1

由"f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得极小值-4" 知f'(x0)=0,即3a*x0^2+2b*x0+c=0.（方程1）
且有f(x0)=a*x0^3+b*x0^2+c*x0=-4（方程2）
由"使其倒数f'(x)>0的x的取值范围为（1,3)" 知a不等于0且抛物线f'(x)=3a*x^2+2b*x+c有两根x1=1，x2=3.且抛物线开口向下，即a<0.此时有3a+2b+c=0且27a+6b+c=0.解得b=-6a,c=9a.
再进一步分析，因为f（x）在x0处取得极小值，说明
当x<x0时，f'（x）<0；当x>x0时，f'(x)>0.即x0=1.结合抛物线的性质知道x0=1.
带入方程2知道a=-1.所以b=6,c=-9
f(x)=-x^3+6x^2-9x

Answer 2

f'(x)＝3x^2+6ax+3-6a为二次函数，开口向上，且对称轴为x＝—a，
f（x）极值等价于△>0得：a>√2-1或a<-√2-1，
①当a>√2-1时，x＝—a<-√2+1<0,
f（x）在x0∈(1,3)处取极小值等价于:f'(1)<0且f'(3)>0，此不等式组无解；
②当a<-√2-1时，x＝—a>√2+1>2,
f（x）在x0∈(1,3)处取极小值等价于:√2+1<—a<3 且 f'(-a) <0且f'(3)>0，
此不等式组解为：—5/2<a<-√2-1;
综合①②知：—5/2<a<-√2-1.

Answer 3

f'(x)＝3x^2+6ax+3-6a
切线斜率是k＝f'(0)=3-6a
方程是y-(12a-4)=(3-6a)x
方程中令x＝2，得y＝2
故此切线恒过点（2，2）
（2）令f'(x)＝3x^2+6ax+3-6a＝0
x＝x1处有极小值，故有f'(x1)=0且在x=x1左右的导数是左负右正
∵x1∈（1，3）
故有f'(1)<0
f'(3)>0代入解之即得a的范围

Answer 4

27+18a+3-6a>0
12a>-30
a>-2.5