Question

证明函数y=x+1/x在区间[1,正无穷)上是增函数

Answer 1

令x=tana,
则π/4<=a<π/2
y=x+1/x=tana+cota=1/sinacosa=2/sin2a
π/2<=2a<π
所以sin2a为减函数，
所以2/sin2a为增函数，即
y=x+1/x在区间[1,正无穷)上是增函数

Answer 2

y=x＋1/x
则：y'=1－1/x²
当x≥1时，y'≥0，则函数y=x＋1/x在区间[1，＋∞)上递增。

Answer 3

方法一：求导
y=x＋1/x
则：y'=1－1/x²
当x>=1时，1/x²<=1
即y'≥0
函数y=x＋1/x在区间[1，＋∞)上递增

方法二：单调性 的定义
设x1<x2且x1,x2属于[1,正无穷)
y1-y2 = x1 - x2 + 1/x1 - 1/x2
=x1-x2 + (x2-x1)/(x1*x2)
= (x1-x2)[1 - 1/(x1*x2)]
x1*x2>1 1/(x1*x2)<1 1 - 1/(x1*x2)>0
而x1-x2<0
所以y1-y2<0
所以函数y=x+1/x在区间[1,正无穷)上是增函数

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