Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，角ABC=60°，点M是PC中点，N是PB中点，PA⊥面ABCD，AC,BD交于点0

若DM与平面PAC所成角的正切值为2，求PA长 我用坐标做的

Answer 1

不用坐标更简单。

连结OM，MD
∵PA⊥面ABCD
∴DO⊥PA
菱形ABCD中，DO⊥AC
∴DO⊥面PAC
∴∠DMO即是DM与平面PAC所成的角
tan∠DMO=OD/OM=2
菱形ABCD中易知OD=√3
∴OM=√3 /2
又M是PC中点，O是AC中点
即OM是△PAC的中位线
∴PA=2OM= √3

坐标法思路如下：
O为坐标原点，OB、OC、OM分别为x轴、y轴、z轴
（要先简单说明它们两两垂直）
易知面PAC的一个法向量为OB=(√3，0，0)
D(-√3,0,0) 设M(0,0,t) DM=(√3,0,t) (t>0)
cos<OB,DM> = 3/ [√3 *√(3+t^2)] =√3 /√(3+t^2)
设DM与平面PAC所成角为α
则sinα = √3 /√(3+t^2)
∵tanα=2 ，sinα= 2/√5
∴√3 /√(3+t^2) = 2/√5
t= √3 /2
即OM=√3 /2 ∴PA=√3

【如有疑问请追问。祝你学习进步！】